以下是关于Chrome浏览器插件后台下载失败如何通知用户的教程：
1. 启用全局通知权限：打开Chrome，点击右上角三个点→“设置”→“隐私与安全”→“网站设置”→“通知”。将“网站可以询问发送通知”的开关设为开启（默认通常已启用）。若此前关闭过，需手动打开。
2. 检查插件的通知权限：进入“网站设置”→“通知”，在搜索框输入插件对应的域名（如`example.com`），确保其权限为“允许”。若未找到，可直接在插件安装页面（如`chrome://extensions/`）点击插件的“详情”按钮，查看是否包含通知功能说明。
3. 允许Chrome显示系统通知：电脑端需检查系统通知设置：Windows用户右键点击任务栏→“任务管理器”→找到“Google Chrome”进程→右键选择“转到详细信息”→确认通知未被阻止。Mac用户进入“系统偏好设置”→“通知与专注”→确保Chrome的“允许通知”选项开启。
4. 重启浏览器与插件：部分插件可能需要重启才能生效。可先关闭所有Chrome窗口，然后重新打开浏览器并加载插件。若插件支持手动刷新（如在设置页面点击“刷新”按钮），建议执行此操作。
5. 更新插件与浏览器版本：进入`chrome://extensions/`，检查插件是否有更新提示。同时确保Chrome已升级至最新版本（点击右上角三个点→“帮助”→“关于Google Chrome”）。旧版本可能导致通知功能异常。
6. 检查网络连接：确保设备已稳定联网，可尝试切换网络环境（如从Wi-Fi切到手机热点）或关闭代理服务器后重试。
7. 检查插件文件损坏：检查下载的插件安装包是否完整，建议重新下载安装文件，避免因下载中断或文件缺失导致安装失败。
8. 以管理员身份运行浏览器：右键点击Chrome图标，选择“以管理员身份运行”，可解决因用户权限不足导致的下载失败问题。
9. 使用脚本或扩展程序进行自定义：对于有一定技术能力的用户，可使用Python等编程语言编写监控脚本，定期检查下载目录是否有新文件，若有则通过系统通知等方式提醒。也可在Chrome浏览器中安装相关的扩展程序，实现更个性化的下载完成通知设置。
综上所述，通过以上步骤，您可以有效掌握Chrome浏览器插件后台下载失败如何通知用户的方法。如果问题仍然存在，建议访问技术论坛寻求帮助。